Anak-anak sangat menyukai matematika. Mereka minta terus dikasih soal. Saya sendiri heran, mengapa mereka begitu semangat?
“Lagi Pak. Kasih soal lagi Pak!” anak-anak menantang saya.
“306 x 303 = …” saya keluarkan soal.
“Sembilan…dua tujuh…delapan belas!” jawab mereka ramai-ramai.
“Maksudnya berapa?”
“92718”
“Betul!”
Anak-anak yang terdiri dari kelas 3 sampai kelas 5 SD itu senang menemukan cara berhitung cepat perkalian ratusan kali ratusan. Bagi mereka itu adalah rumus cepat matematika yang diidam-idamkan.
Anak-anak SMA yang menjelang UN, SPMB, dan UMPTN 2008 juga tidak kalah semangat. Jika mereka memperoleh rumus matematika cepat untuk UN, SPMB, dan UMPTN maka matanya langsung berbinar-binar. Wajahnya berseri-seri.
Saya sering mengatakan kepada mereka,
”Maukah kalian dapat soal bonus?”
”Apa itu soal bonus?”
”Soal UN, SPMB, atau UMPTN yang selalu dapat kamu selesaikan dengan mudah.”
”Ya maulah…”
”Limit.”
Limit kan sangat abstrak dan sulit? Bagaimana bisa dikatakan sebagai bonus? Itulah intinya. Limit adalah ide fundamental dalam kalkulus. Karena limit sangat kaya akan variasi dan abstrak bagi orang awam, maka limit hanya diperkenalkan bagian dasar saja untuk anak tingkat SMA. Jadi limit tingkat SMA tentu yang mudah-mudah saja. Limit adalah bonus.
Sekedar contoh rumus cepat untuk limit. Kadang orang menyebut rumus cepat sebagai trik cepat, fastest solution, king of fastest, atau rumus sesat. Boleh-boleh saja.
Soal berikut ini sangat mudah. Sudah pernah diujikan untuk tes masuk ITB sejak tahun 70-an. Tetapi entah mengapa, soal limit tipe ini tetap sering diujikan sampai sekarang. Benar-benar bonus untuk kita.
Untuk limit x menuju 0 hitunglah
(tg5x)/(sin3x) = …
Bagi orang awam jawabannya sangat mudah yaitu 5/3.
Apakah Anda yakin itu jawaban yang benar?
Banyak anak-anak karena ragu, karena dirasa terlalu mudah, malah tidak mau menjawab dengan 5/3.
Mari kita diskusikan!
Untuk membahasnya kita perlu ke dasar-dasar limit trigonometri. Sudah banyak dibuktikan dalam buku-buku bahwa untuk limit x menuju 0 berlaku:
(sinx)/x = 1;
(tgx)/x = 1;
Biasanya anak-anak harus hafal rumus di atas. Bagi saya rumus ini adalah rumus cepat limit. Tetapi rumus ini beruntung. Ia tidak pernah disebut sebagai rumus sesat. Ia mendapat gelar kehormatan sebagai rumus dasar limit trigonometri.
Dengan rumus dasar limit trigonometri ini kita akan memecahkan
(tg5x)/(sin3x) =
[(tg5x)(5x/5x)]/[(sin3x)(3x/3x)] =
[(tga)(a/a)]/[(sinb)(b/b)]
dengan a = 5x dan b = 3x;
gunakan rumus dasar trigonometri:
[1.a]/[1.b] =
[5x]/[3x] =
= 5/3 (Selesai)
Kita peroleh jawaban 5/3 sesuai tebakan awal kita.
Apakah kita selalu boleh melakukan tebakan semacam itu?
Boleh.
Tebakan ini sah. Kita mendasarkan pada rumus dasar limit trigonometri dengan menambah satu langkah implikasi.
Karena (sinx)/x = 1 maka (sinx) = x;
karena (tgx)/x = 1 maka (tgx) = x.
Jadi rumus dasar trigonometri yang kita hafal adalah
sinx = x;
tgx = x.
Dengan sedikit mengubah cara pandang ini akan membawa keberuntungan besar pada UN, SPMB, UMPTN 2008. Siswa-siswa SMA, mestinya tidak asing dengan cara pandang ini. Kita telah memakai cara pandang ini ketika menghitung interferensi gelombang Young dalam fenomena fisika.
Jadi bila kita terapkan ke soal di atas:
(tg5x)/(sin3x) = 5x/3x = 5/3 (Selesai).
Rumus cepat di atas akan semakin bernilai bila bentuk soalnya semakin rumit seperti
(2x + tg3x)/(x + sin7x) =…
(2x + 3x)/(x + 7x) = 5/8 (Selesai).
Rumus cepat matematika bukan hal baru. Dalam sejarah matematika tercatat bahwa masyarakat memang mengidolakan rumus-rumus cepat matematika. Saat itu rumus-rumus cepat tidak dipandang sebagai rumus sesat. Pun yang menguasai rumus-rumus cepat adalah para ahli matematika itu sendiri.
Pada tahun 1535 Tartagtila mengikuti pertandingan berhitung cepat. Ia melawan murid dari seorang profesor matematika ternama. Tartagtila tidak begitu dikenal di dunia matematika waktu itu. Ia mempelajari matematika nyaris secara mandiri. Tetapi Tartagtila memiliki keistimewaan: ia memiliki rumus cepat untuk memecahkan persamaan polinom pangkat 3.
Aturan pertandingan itu sederhana. Masing-masing peserta menuliskan 30 soal matematika. Kemudian soal itu diserahkan kepada lawan untuk diselesaikan. Siapa saja yang mampu menyelesaikan soal lebih awal dan benar maka ia sebagai pemenang.
Setelah 2 jam pertandingan berlangsung. Tartagtila berhasil menyelesaikan seluruh 30 soal yang dihadapinya. Sedangkan lawannya belum mampu menyelesaikan soal satu pun. Tartagtila mampu menyelesaikannya karena menggunakan rumus cepat. Sedangkan lawannya tidak memiliki rumus cepat.
Tartagtila meraih berbagai kehormatan setelah pertandingan itu.
Rumus cepat adalah terhormat.
Bagaimana jika terjadi komersialisasi rumus cepat? Saya tidak tahu jawabannya.
O iya, saya jadi ingat dengan berhitung cepat yang paling awal tadi bagaimana caranya?
Bagaimana seorang anak kecil dapat menghitung 306 x 303 luar kepala?
Caranya mudah!
Bagi anak SMP sudah mengenal bahwa
(x+2)(x+3)=
x.x + (2x+3x) + 2.3 =
Mirip dengan itu caranya:
306 x 303 =
9 (dari 3×3)
27 (dari 6×3 + 3×3)
18 (dari 6×3)
Kita peroleh jawaban 92718.
Contoh lain
207 x 304 = …
6 (dari 2×3)
29 (dari 7×3 + 2×4)
28 (dari 7×4)
Kita peroleh 62928.
Bagaimana pendapat Anda?
Salam hangat….
“Lagi Pak. Kasih soal lagi Pak!” anak-anak menantang saya.
“306 x 303 = …” saya keluarkan soal.
“Sembilan…dua tujuh…delapan belas!” jawab mereka ramai-ramai.
“Maksudnya berapa?”
“92718”
“Betul!”
Anak-anak yang terdiri dari kelas 3 sampai kelas 5 SD itu senang menemukan cara berhitung cepat perkalian ratusan kali ratusan. Bagi mereka itu adalah rumus cepat matematika yang diidam-idamkan.
Anak-anak SMA yang menjelang UN, SPMB, dan UMPTN 2008 juga tidak kalah semangat. Jika mereka memperoleh rumus matematika cepat untuk UN, SPMB, dan UMPTN maka matanya langsung berbinar-binar. Wajahnya berseri-seri.
Saya sering mengatakan kepada mereka,
”Maukah kalian dapat soal bonus?”
”Apa itu soal bonus?”
”Soal UN, SPMB, atau UMPTN yang selalu dapat kamu selesaikan dengan mudah.”
”Ya maulah…”
”Limit.”
Limit kan sangat abstrak dan sulit? Bagaimana bisa dikatakan sebagai bonus? Itulah intinya. Limit adalah ide fundamental dalam kalkulus. Karena limit sangat kaya akan variasi dan abstrak bagi orang awam, maka limit hanya diperkenalkan bagian dasar saja untuk anak tingkat SMA. Jadi limit tingkat SMA tentu yang mudah-mudah saja. Limit adalah bonus.
Sekedar contoh rumus cepat untuk limit. Kadang orang menyebut rumus cepat sebagai trik cepat, fastest solution, king of fastest, atau rumus sesat. Boleh-boleh saja.
Soal berikut ini sangat mudah. Sudah pernah diujikan untuk tes masuk ITB sejak tahun 70-an. Tetapi entah mengapa, soal limit tipe ini tetap sering diujikan sampai sekarang. Benar-benar bonus untuk kita.
Untuk limit x menuju 0 hitunglah
(tg5x)/(sin3x) = …
Bagi orang awam jawabannya sangat mudah yaitu 5/3.
Apakah Anda yakin itu jawaban yang benar?
Banyak anak-anak karena ragu, karena dirasa terlalu mudah, malah tidak mau menjawab dengan 5/3.
Mari kita diskusikan!
Untuk membahasnya kita perlu ke dasar-dasar limit trigonometri. Sudah banyak dibuktikan dalam buku-buku bahwa untuk limit x menuju 0 berlaku:
(sinx)/x = 1;
(tgx)/x = 1;
Biasanya anak-anak harus hafal rumus di atas. Bagi saya rumus ini adalah rumus cepat limit. Tetapi rumus ini beruntung. Ia tidak pernah disebut sebagai rumus sesat. Ia mendapat gelar kehormatan sebagai rumus dasar limit trigonometri.
Dengan rumus dasar limit trigonometri ini kita akan memecahkan
(tg5x)/(sin3x) =
[(tg5x)(5x/5x)]/[(sin3x)(3x/3x)] =
[(tga)(a/a)]/[(sinb)(b/b)]
dengan a = 5x dan b = 3x;
gunakan rumus dasar trigonometri:
[1.a]/[1.b] =
[5x]/[3x] =
= 5/3 (Selesai)
Kita peroleh jawaban 5/3 sesuai tebakan awal kita.
Apakah kita selalu boleh melakukan tebakan semacam itu?
Boleh.
Tebakan ini sah. Kita mendasarkan pada rumus dasar limit trigonometri dengan menambah satu langkah implikasi.
Karena (sinx)/x = 1 maka (sinx) = x;
karena (tgx)/x = 1 maka (tgx) = x.
Jadi rumus dasar trigonometri yang kita hafal adalah
sinx = x;
tgx = x.
Dengan sedikit mengubah cara pandang ini akan membawa keberuntungan besar pada UN, SPMB, UMPTN 2008. Siswa-siswa SMA, mestinya tidak asing dengan cara pandang ini. Kita telah memakai cara pandang ini ketika menghitung interferensi gelombang Young dalam fenomena fisika.
Jadi bila kita terapkan ke soal di atas:
(tg5x)/(sin3x) = 5x/3x = 5/3 (Selesai).
Rumus cepat di atas akan semakin bernilai bila bentuk soalnya semakin rumit seperti
(2x + tg3x)/(x + sin7x) =…
(2x + 3x)/(x + 7x) = 5/8 (Selesai).
Rumus cepat matematika bukan hal baru. Dalam sejarah matematika tercatat bahwa masyarakat memang mengidolakan rumus-rumus cepat matematika. Saat itu rumus-rumus cepat tidak dipandang sebagai rumus sesat. Pun yang menguasai rumus-rumus cepat adalah para ahli matematika itu sendiri.
Pada tahun 1535 Tartagtila mengikuti pertandingan berhitung cepat. Ia melawan murid dari seorang profesor matematika ternama. Tartagtila tidak begitu dikenal di dunia matematika waktu itu. Ia mempelajari matematika nyaris secara mandiri. Tetapi Tartagtila memiliki keistimewaan: ia memiliki rumus cepat untuk memecahkan persamaan polinom pangkat 3.
Aturan pertandingan itu sederhana. Masing-masing peserta menuliskan 30 soal matematika. Kemudian soal itu diserahkan kepada lawan untuk diselesaikan. Siapa saja yang mampu menyelesaikan soal lebih awal dan benar maka ia sebagai pemenang.
Setelah 2 jam pertandingan berlangsung. Tartagtila berhasil menyelesaikan seluruh 30 soal yang dihadapinya. Sedangkan lawannya belum mampu menyelesaikan soal satu pun. Tartagtila mampu menyelesaikannya karena menggunakan rumus cepat. Sedangkan lawannya tidak memiliki rumus cepat.
Tartagtila meraih berbagai kehormatan setelah pertandingan itu.
Rumus cepat adalah terhormat.
Bagaimana jika terjadi komersialisasi rumus cepat? Saya tidak tahu jawabannya.
O iya, saya jadi ingat dengan berhitung cepat yang paling awal tadi bagaimana caranya?
Bagaimana seorang anak kecil dapat menghitung 306 x 303 luar kepala?
Caranya mudah!
Bagi anak SMP sudah mengenal bahwa
(x+2)(x+3)=
x.x + (2x+3x) + 2.3 =
Mirip dengan itu caranya:
306 x 303 =
9 (dari 3×3)
27 (dari 6×3 + 3×3)
18 (dari 6×3)
Kita peroleh jawaban 92718.
Contoh lain
207 x 304 = …
6 (dari 2×3)
29 (dari 7×3 + 2×4)
28 (dari 7×4)
Kita peroleh 62928.
Bagaimana pendapat Anda?
Salam hangat….
